Берёза - это название дерева, которое происходит от слова "береза" и обозначает растение семейства берёзовых. Березовый - это прилагательное, образованное от слова "берёза", и означает принадлежащий к берёзе или сделанный из её древесины. Берёзонька - это уменьшительно-ласкательное от слова "берёза" и обозначает маленькую березу или что-то связанное с ней. Березняк - это название для березовой рощи или леса, где преобладают берёзы.
При анализе данных слов можно выделить следующие морфемы: "берез-" - корень, "о-" - окончание, "нь-" - суффикс, "под-" - представка. Корень "берез-" во всех этих словах обозначает связь с березой, а суффиксы и окончания придают словам различные грамматические значения (уменьшительное значение, принадлежность, местообитание и т.д.). Представка "под-" в слове "подберёзовик" указывает на принадлежность к берёзе и на местообитание - гриб, растущий под берёзой.