Слово «непрошеННый» пишется с двумя буквами «н» по следующим причинам:
Правило образования страдательных причастий: В русском языке страдательные причастия прошедшего времени, образованные от глаголов совершенного вида при помощи суффиксов -нн- или -енн-, пишутся с двумя буквами «н». Глагол «просить» (совершенный вид — «попросить») образует причастие «прошенный», к которому добавляется приставка «не-», что не изменяет правила.
Суффикс -енн-: В русском языке есть правило, что если причастие образовано от глагола при помощи суффикса -енн-, то в нем пишется две буквы «н». Примеры: «прочитанный», «писанный», «нарисованный». В нашем случае, слово «непрошенный» образовано от основы «просить», и к нему добавляется суффикс -енн-. Следовательно, пишется «непрошенный».
Приставка не- и страдательное причастие: Когда к страдательному причастию добавляется приставка «не-», правило удвоения «н» сохраняется. То есть, приставка «не-» не влияет на количество букв «н» в причастии.
Таким образом, слово «непрошенный» следует писать с двумя буквами «н», потому что оно образовано от страдательного причастия прошедшего времени с суффиксом -енн-.