В предложении "Мне нравится, что вы больны не мной" местоимение "мне" выступает в роли дательного падежа, указывая на лицо, которому что-то нравится. В данном случае "мне" обозначает получателя ощущения или эмоции, то есть того, кто испытывает удовольствие от ситуации.
Грамматическая основа в этом предложении: "нравится" (сказуемое) и подлежащее пропущено, так как подразумевается "это" или "то, что вы больны не мной". Таким образом, основа будет: "нравится".
В более полном разборе можно выделить, что "что вы больны не мной" является придаточным предложением, уточняющим, что именно нравится.