Для начала нужно определить главное предложение в данном предложении. Главное предложение здесь - "Осетин-извозчик погонял лошадей". Сказуемое - "погонял", подлежащее - "Осетин-извозчик".
Далее идет дополнение "неутомимо", указывающее на характеристику действия.
Далее идет второстепенное предложение "чтобы успеть до ночи взобраться на Койшаурскую гору". В данном случае "чтобы" вводит придаточное предложение цели. Сказуемое - "взобраться", подлежащее - не указано (подразумевается "Осетин-извозчик"). Дополнение - "до ночи".
Таким образом, синтаксический разбор предложения позволяет понять его структуру и взаимосвязь между частями.