В предложении "Потом один за другим были открыты необитаемые острова Азовского архипелага" мы имеем дело с составным именным сказуемым. Составное именное сказуемое состоит из двух частей: связки и именной части. В данном предложении связка выражена глаголом "были открыты", который является формой пассивного залога глагола "открыть".
Именная часть составного именного сказуемого выражена существительным "острова", которое имеет при себе определение "необитаемые" и уточняющее определение "Азовского архипелага". Таким образом, именная часть состоит из существительного с прилагательным и уточняющим оборотом. В этом предложении именная часть выполняет функцию именования объекта, который был открыт, и дает дополнительную информацию о его характеристиках и принадлежности к определенному географическому региону.
Таким образом, именная часть "необитаемые острова Азовского архипелага" в составе сказуемого выражена существительным "острова", уточненным прилагательным "необитаемые" и дополнением "Азовского архипелага".