Грамматическая основа в предложениях: "Чёрная туча закрыла небо", "проливной дождь застучал в окно", "Перелётные птицы стали собираться в стаи и полетели на юг", "Холодное небо часто хмурится идёт дождь".
Необходимо поставить запятые после слов: "небо", "дождь", "стаи", "юг", "хмурится".
Таким образом, правильный вариант будет выглядеть следующим образом:
Чёрная туча закрыла небо, проливной дождь застучал в окно. Перелётные птицы стали собираться в стаи и полетели на юг. Холодное небо часто хмурится, идёт дождь.